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【確率論】3者択一に困ったら? 確率論で紐解く最適解(Monty Hall問題)

2020年6月28日

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悩んでいる人
悩んでいる人

部長に来季の営業企画書を3つ提出しました.

3つの企画書の内,1つだけは気に入っている,と噂で聞いています.

早く企画書の計画に着手したいので,elevator内で一緒になった部長に「企画書 案1はどうですか?」と何気なく聞いてみました.

案1が私の力作なのです.

部長は「案3は,ダメだ.」と,案1には触れずに遠回しに答えられました.

案1で押し通した方がいいのか,それとももう一つ残っている案2に切り替えた方が良いのか悩んでいます.

Konyan
Konyan

こんにちは,Konyanです.

数学には似たような問題に,「Monty Hall問題」があります.

質問者さんの悩みに数学的にお答えするなら,案2に切り替えた方が部長の力添えはもらえます.

本記事では,3つの選択肢から,1つの正解を選び出すとき,正解する確率を高める方法を解説します.

数学的には,model化した範囲内で最適解をお伝えできます.

腹の底が読めない部長相手には,人間関係や利害関係も絡んでいるので,数学通りとはいかないのが現実です.

Monty Hall問題

AmericaのTV game番組「Let's make a deal」の司会者Monty Hallに由来する,有名な確率puzzleを紹介します.

出典:Towards Data Science Let’s Make a Deal

今回のお悩みの構造と似ていますので,ぜひ考えてみましょう.

直感を信じると間違える一方で,理論的に導き出された答えも何となく矛盾しているような気分にさせられる不思議な問題です.

Monty Hall問題とは

Monty Hall問題あなたは今,TV番組のgame showに参加しています.

Gameの規則は,次の通りです.

目の前に3つの扉があり,あなたには扉の向こう側が見えません.

扉の向こう側には,新車が1台とヤギ2匹がそれぞれ準備されています.

司会者は,どの扉の奥に何が隠されているかを知っていますが,あなたは知りません.

あなたは,直感的に扉 1を選びます.

答えを知っている司会者は不敵な笑みを浮かべて,扉3を開けて見せると,扉 3の向こうには1匹のヤギがいます.

司会者はあなたの心を見透かしたように言います.

「最後にもう一度選択する権利をあなたにあげましょう.扉 1を選びますか?それとも扉2に変更しますか?」

質問する人
質問する人

はじめに選んだ扉 1が”当り”の確率は\(\frac{1}{3}\).

同じように,扉 2が”当り”の確率も\(\frac{1}{3}\).

扉 1と扉 2の”当り”の確率が同じであれば,わざわざ扉1から扉2に変更する有効性はないのではないでしょうか?

むしろ,司会者の人が”外れ”の扉に誘導している罠ではないかと勘ぐります.

Konyan
Konyan

答えは,扉 1が”当り”の確率は\(\frac{1}{3}\).

司会者が扉 3を開けて”外れ”であることを見せたことにより,扉2が”当り”の確率は\(\frac{2}{3}\)になります.

よって,扉2に変更した方が”当り”になる確率が2倍になります.

驚く人
質問する人

どの扉が”当り”である確率は同じですよね?

司会者は,ただ”外れ”の扉がどれかを事後的に示しただけなのに,”当り”の確率が変わるなんて信じられない.

Konyan
Konyan

人の直感をうまく欺くように巧妙にできた確率問題です.

質問者さんのように,考えるようにうまく問題設定がされています.

問題の本質を見抜くために肝心なことは,

あなたが選ばなかった,2つの扉どちらかに”当り”がある確率は\(\frac{2}{3}\)である.
今回は扉2が司会者によって”外れ”であることを示されましたが,平行世界では扉3が司会者によって選ばれていたかもしれない.

ということです.

1990年当時,Monty Hall問題は物議を醸し出しました.

博士課程取得者1千人を含めた,1万人読者がMonty Hall問題の解法を取り上げた雑誌に反対意見を投稿しています.

確率論は,”起こりうる事象の発生頻度”を教えてくれますが,具体的に確率は目に見えるわけではないので,どうしても直感と理性が対立してしまいます.

一般化されたMonty Hall問題

数学でよく行う手法で,問題の設定を一般化してみます.

一般化することで,個別の事象よりも問題に対する見通しが良くなります.

Monty Hall問題が人を迷わせる”罠”は,3という数字です.

  • あなたが選ぶ扉は1つ
  • 司会者が”外れ”を見せる扉も1つ
  • 最後にあなたが選ばなかった扉も1つ

全ての扉が対等に扱えるような気がしてくる点が,Monty Hall問題を長い間人々の間で論争を巻き起こした源流でしょう.

3の”罠”から脱出するために,次のような一般化されたMonty Hall問題を定式化します.

一般化されたMonty Hall問題 (D. L. Ferguson, 1970)

あなたは今,TV番組のgame showに参加しています.

Gameの規則は,次の通りです.

目の前に\(N\)個の扉があり,あなたには扉の向こう側が見えません.(\(N\)は3以上の任意の自然数とします.)

扉の向こう側には,新車が1台とヤギ\((N-1)\)匹がそれぞれ準備されています.

司会者は,どの扉の奥に何が隠されているかを知っていますが,あなたは知りません.

あなたは,直感的に扉 1を選びます.

答えを知っている司会者は不敵な笑みを浮かべて,あなたの選んだ扉 1とある扉\(i\)以外の,\((N-2)\)個の扉を開けて見せると,その扉の向こうには\((N-2)\)匹のヤギがいます.

司会者はあなたの心を見透かしたように言います.

「最後にもう一度選択する権利をあなたにあげましょう.扉 1を選びますか?それとも扉 \(i\)に変更しますか?」

一般化すると,扉 1から扉 \(i\)に変更した方が良いことが直感でも分かります.

分かりづらい時は,\(N\)に大きな具体的な数字を当てはめてみてください.

  • あなたが選んだ扉 1が”当り”の確率は(\frac{1}{N}\).
  • あなたが選ばなかった\((N-1)\)個の扉に”当り”がある確率は,(\frac{N-1}{N}\).
  • 司会者は,扉 1以外の中からある扉を(意図的に)選んで,”外れ”であることを示した.つまり,\((N-1)\)個の扉に”当り”がある確率(\\frac{N-1}{N}\)が残された1つの扉に集約された.

と考えることができます.

気づいた人
気づいた人

そうか!

扉 1に”当り”がある確率は\(\frac{1}{N}\).

一方で,司会者が残したもう一つの扉に”当り”がある確率は,\(\frac{N-1}{N}\).

したがって,扉 1からもう一つの扉に変更した方が合理的で,"当り"の確率は\((N-1)\)倍になる.

まさに一般化することで,枝葉末節に惑わされずに,回答の道筋を見つけることができました.

一般化というと小難しく聞こえますが,物事の本質を抽出するために,数学ではよく使う手法です.

数学の理論の中には,「一般化のための一般化」なんて野次をされて,一般化が目的になっていると批判されることもあります.

筋の良い一般化は大歓迎です!皆さんも日常生活で困ったことがあれば,悩みを俯瞰する方法として活用してみてください.

Konyan
Konyan

昔数学の先生が,「問題が押してダメなら,引いてみろ」と格言を残しました.

生徒の一人が,「どのように引くのですか?」と聞くと,「分からない」と先生は答えて教室中が爆笑の渦になりました.

一般化されたMonty Hall問題の解法

条件付き確率とBayesの定理を用いて解説します.詳しくは次の記事をご参考ください.

【確率論】検査は本当に有効?なぜ何回も検査を行うの?Bayesの定理で数学的に考察してみた

記号を導入します.

\(A_{i}\) : 扉 \({i}\)が"当り"である事象(\(i=1,\dots,N\))

\(\overline{A_{i}}\) : 扉 \({i}\)が"外れ"である事象(\(i=1,\dots,N\))

\(B_{i}\) : 扉 1と扉 \(i\)以外の,\((N-2)\)個の扉が”外れ”である事象(\(i=2,\dots,N\))

すぐに次のことが導かれます.

$$P(A_{i}) = \frac{1}{N}$$
$$B_{i} = A_{1} \cup A_{i}$$

「あなたの選んだ扉 1とある扉以外の,\((N-2)\)個の”外れ”の扉を開ける」事象\(B\)は,次のように表せます.

$$B = \displaystyle\bigcup_{i=2}^{N} B_{i}$$

\(P(B)=1\)であることに注意してください.

Bayesの定理より,事象\(B\)が発生した条件下での事象\(A_{1}\)の確率は

$$P(A_{1}| B) = P(A_{1}\cap B) = P\left(\displaystyle\bigcup_{i=2}^{N} A_{1}\cap B_{i}\right) = P(A_{1}) = \frac{1}{N}$$.

事象\(B\)が発生した条件下での事象\(\overline{A_{1}}\)の確率(扉 1でない方の扉が"当り"である確率)は,

$$P\left(\overline{A_{1}}| B\right) = P\left(A_{1}\cap B\right) = 1 - P\left(A_{1}| B\right) = \frac{N-1}{N}$$.

まとめ

Monty Hall問題では,

最初の選択から,もう一つの選択に変更することで,”当り”の確率が2倍

になることがわかりました.

もう一つ強調したいことは,Monty Hall問題を解く上で用いた「一般化」という方法です.

「もし,3つでなくて,たくさんの選択肢があった場合はどうなるんだろうか?」

と視点をずらすことで,物事の見通しがグッと良くなります.

  • この記事を書いた人

こにゃん

【経歴】▶︎理系学問を専攻 ▶︎日本にて企業就職 ▶︎入社3年目マレーシア駐在 ●マレーシア駐在員 30代 ●英語 TOEIC 950点,中国語 HSK 5級(中国語の方が得意かも?) ●旅行好き,一番心に残っている旅は新疆(ウイグル) ●資産形成中 ■000万円,1億円資産ができたら経済的自由の道へ マレーシアお役立ち情報を発信しているので,Twitterもフォローしてね.

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